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Factorización

La definición de la factorización es

El proceso de escribir una expresión dada como el producto de sus factores.

Sí, lo que la factorización quiere decir es que descompongamos a una expresión en todos los factores que la componga, desmenuzándola. Así como se muestra a continuación:

$$x^{2} = x \cdot x$$

Ya que tenemos esto en mente, podemos proceder a mencionar los métodos de factorización. Utilizaremos $x$ y $y$ para referirnos a als incógnitas y a $a$, $b$ y $c$ para referirnos a los números conocidos.

Factorización por agrupación de términos

Vamos a factorizar la siguiente expresión:

$$ax^{2} + ay^{2} + bx^{2} + by^{2}$$

Lo primero que haremos es agrupar los términos con las incógnitas:

$$\left( ax^{2} + bx^{2}\right) + \left(ay^{2} + by^{2} \right)$$

Ahora sacaremos al término común del paréntesis:

$$ x^{2} \left( a + b \right) + y^{2} \left( a + b \right) $$

Y podemos dejarlo hasta aquí el ejemplo, sin embargo, podemos factorizarlo un poco más. Démonos cuenta que ahora el término que podemos factorizar es el $(a + b)$, lo cual nuestra factorización final nos quedará de la siguiente manera:

$$(a + b)\left( x^{2} + y^{2} \right)$$

Factorización por diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma de dos números por la resta de dichos números, todos con raíz cuadrada exacta:

$$x^{2} – y^{2} = \left( x + y \right) \cdot \left( x – y \right)$$

Ejemplo de factorización por diferencia de cuadrados

Factorice la siguiente expresión:

$$4x^{2} – 81$$

Para realizar este ejercicio vamos a reescribir la ecuación representando la raíz cuadrada de cada término:

$$4x^{2} – 81 = \left( 2x \right)^{2} – 9^{2}$$

Ahora ya podemos escribir la factorización de la ecuación, con la práctica te irás saltando ese paso de obtener la raíz cuadrada de cada término:

$$\left( 2x \right)^{2} – 9^{2} = (2x + 9)(2x – 9)$$

Factorización del trinomio al cuadrado perfecto

Muchos ya nos hemos de saber la factorización de este trinomio ya que sabemos que es el resultado del binomio al cuadrado perfecto. Este trinomio está conformado por dos términos que son cuadrados y el otro término que es el doble producto de dichos términos:

$$x^{2} + 2xy + y^{2} = \left( x + y \right)^{2}$$

Ejemplo de un trinomio al cuadrado perfecto

Factorice la siguiente ecuación:

$$x^{2} + 10x + 25$$

Para saber si es un trinomio al cuadrado perfecto tenemos que asegurarnos de que el primer y tercer término tengan raíz exacta, sean positivos y que el segundo término sea doble producto de las raíces cuadradas.

$x^{2}$ y $25$ tienen raíz cuadrada exactas = $x$ y $5$

Y ahora multiplicamos por dos el producto de las raíces que acabamos de calcular:

$$2\cdot x \cdot 5 = 10 x$$

Entonces el término $10x$ de nuestro trinomio sí corresponde al doble producto de las raíces cuadradas.

Para escribir el resultado sólo se toman las raíces cuadradas y se eleva al cuadrado la suma de dichas raíces:

$$\left( x + 5 \right)^{2}$$

Ejemplo de un trinomio al cuadrado perfecto con signo negativo

Si tiene signo negativo, se puede seguir considerando un trinomio al cuadrado perfecto si y sólo si el signo negativo se encuentra en el término del doble producto de las raíces. Veamos el ejemplo anterior pero ahora con signo negativo:

$$x^{2} – 10x + 25$$

Cuando tenemos el signo negativo, vamos a tener dos respuestas ya que nosotros al elevar un negativo al cuadrado, siempre tendremos un positivo. Así que no importa cuál de los dos términos tenga el negativo en el binomio al cuadrado perfecto, siempre tendremos el mismo trinomio al cuadrado perfecto, recordemos las raíces de los extremos del trinomio:

$$x^{2} \rightarrow x \qquad \ 25 \rightarrow 5$$

Ahora el doble producto le agregaremos el negativo al término $x$ y luego al término $5$:

$$ 2 \cdot (-x) \cdot 5 = – 10 x$$

$$2 \cdot x \cdot (-5) = -10 x$$

Así que podemos tener dos resultados a conveniencia si un ejercicio requiere que apliquemos este truco del negativo del trinomio al cuadrado perfecto:

$$= \left( x – 5\right)^{2} \quad \text{o} \quad \left(5 – x \right)^{2}$$

Factorización del trinomio de la forma $ax^{2} + bx + c$

Veamos el siguiente ejemplo para entender mejor cómo funciona este tipo de factorización. Factorice $2x^{2} + 8x + 6$.

Escribamos nuestro trinomio de la siguiente forma:

$$\begin{array}{ c c c c }
2x^{2} & 8x & \ 6 \ & \ \ \\
& & & \\
& & & \\
& & &
\end{array}$$

Ahora, debajo de los extremos del trinomio (del $2x^{2}$ y del $6$), escribiremos dos términos que multiplicados nos den como resultado cada uno de los extremos de nuestro trinomio:

$$\begin{array}{ c c c c }
2x^{2} & 8x & \ 6 \ & \ \ \\
2x & & 6 & \\
x & & 1 & \\
& & &
\end{array}$$

Muy bien, el término $2x^{2}$ se puede representar con la multiplicación de $2x\cdot x$, y el término $6$ se puede representar con la multiplicación de $6\cdot 1$. Lo que haremos ahora es multiplicar cruzado cada uno de los términos:

$$\begin{array}{ c c c c c }
2x^{2} & 8x & \ 6 \ & &\ \ \\
2x & & 6 & = & 6x \\
x & & 1 & = & 2x \\
& & & &
\end{array}$$

Como se muestra en la multiplicación cruzada, $2x\cdot 1 = 2x$ y  $x \cdot 6 = 6x$. Efectuaremos la suma de las multiplicaciones realizadas:

$$\begin{array}{ c c c c c }
2x^{2} & 8x & \ 6 \ & &\ \ \\
2x & & 6 & = & 6x \\
x & & 1 & = & 2x \\
& & & = & 8x
\end{array}$$

$$8x = 8x$$

Si la suma es igual al término del en medio del trinomio al cuadrado perfecto, eso quiere decir que ya tenemos nuestros binomios, sólo agregaremos los debidos paréntesis con el signo que tenga cada término:

$$\begin{array}{ c c c c c }
2x^{2} & 8x & \ 6 \ & &\ \ \\
( 2x & + & 6 )& = & 6x \\
(x & + & 1 )& = & 2x \\
& & & = & 8x
\end{array}$$

Así que la factorización del trinomio $2x^{2} + 8x + 6$ es igual a:

$$\left( 2x + 6 \right) \left( x + 1 \right)$$

Te voy a comentar que hay trinomios de la forma $ax^{2} + bx + c$ que tienen factorizaciones diferentes, o sea más respuestas, observa:

$$\begin{array}{ c c c c c }
2x^{2} & 8x & \ 6 \ & &\ \ \\
2x &  & 2 & = & 2x \\
x &  & 3 & = & 6x \\
& & & = & 8x
\end{array}$$

$$8x = 8x$$

Agregamos los debidos paréntesis y signos y observaremos que otra respuesta del trinomio $2x^{2} + 8x + 6$ es:

$$\left( 2x + 2\right) \left( x + 3 \right)$$

Con el mismo trinomio $2x^{2} + 8x + 6$ obsevaremos que puede que el orden en que acomodes los términos no te dé el resultado:

$$\begin{array}{ c c c c c }
2x^{2} & 8x & \ 6 \ & &\ \ \\
2x & & 3 & = & 3x \\
x & & 2 & = & 4x \\
& & & = & 7x
\end{array}$$

$$8x \neq 7x$$

Cuando te pase eso, simplemente cambia el orden en que acomodas las multiplicaciones para que al momento de que realices la suma, obtendas como resultado el mismo término de en medio del trinomio.

Factorización de la suma y diferencia de cubos perfectos

A continuación te mostraremos unas fórmulas para los casos de la factorización de la suma y diferencia de cubos.

La suma [resta] de dos cubos perfectos es igual a la suma [resta] de sus raíces cúbicas, multiplicado por el cuadrado de la primer raíz cúbica, menos [más] el producto de las dos raíces cúbicas, más el cuadrado de la segunda raíz cúbica. Te lo dejo más gráfico:

$$x^{3} \pm y^{3} = \left( x \pm y \right) \left(x^{2} \mp xy + y^{2} \right)$$

Te colocaré más desglosadas las fórmulas ya que suele confundirse un poco el tema de los signos.

Factorización de suma de cubos perfectos:

$$x^{3} + y^{3} = \left( x + y \right) \left(x^{2} – xy + y^{2} \right)$$

Factorización de diferencia de cubos perfectos

$$x^{3} – y^{3} = \left( x – y \right) \left(x^{2} + xy + y^{2} \right)$$

Ya que tenemos la teoría, vamos con unos ejemplos.

Ejemplo de la suma de cubos perfectos.

Factorice la siguiente expresión:

$$8x^{3} + 125$$

Lo primero que tenemos que hacer es sacarle su raíz cúbica a cada término:

$$8x^{3} \rightarrow 2x \qquad \ 125 \rightarrow 5$$

$$8x^{3} + 125 = (2x)^{3} + (5)^{3}$$

Una vez que ya tengamos los dos términos calculados, tomemos la fórmula y escribamos el resultado:

$$8x^{3} + 125 = \left( 2x + 5 \right) \left( (2x)^{2} – (2x)(5) + (5)^{2} \right)$$

Efectuamos las operaciones correspondientes y así obtendremos nuestro resultado final:

$$8x^{3} + 125 = \left( 2x + 5 \right) \left( 4x^{2} – 10x + 25 \right) $$

Ejemplo de la diferencia de cubos perfectos

Factorice la siguiente expresión:

$$343y^{3} – 216b^{3}$$

Sacamos raíz cúbica a cada término:

$$343y^{3} \rightarrow 7y \qquad 216b^{3} \rightarrow 6b $$

$$343y^{3} – 216b^{3} = (7y)^{3} – (6b)^{3}$$

Ya que tenemos los dos términos calculados, reescribámoslos en la fórmula:

$$343y^{3} – 216b^{3} = \left( 7y – 6b \right) \left( (7y)^{2} + (7y)(6b) + (6b)^{2} \right)$$

Efectuemos las operaciones correspondientes para obtener nuestro resultado final:

$$343y^{3} – 216b^{3} = \left(7y – 6b \right) \left( 49y^{2} + 42yb + 36b^{2}\right)$$

¡Ahora sal al mundo a por cualquier factorización a la que tengas que enfrentarte!

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

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