Una sucesión es convergente si existe un número L tal que si k \ \rightarrow \ \infty, entonces t_{k} \ \rightarrow \ L. Matemáticamente se representa de la siguiente manera:
\underset{k \to \infty} \lim \; \ t_{k} \ = L
Lo que quiere decir la expresión anterior es que si k es infinito, entonces van a existir infinitas posiciones, pero cada una de ellas siempre va a ser igual a un número.
Por otra parte, una sucesión es divergente cuando su límite es infinito.
Para explicarlo más sencillo, se utiliza el criterio de Cauchy que nos dice que una sucesión es convergente si dado un número \varepsilon arbitrariamente pequeño, existe un número N>0 tal que:
\left| t_{p} - t_{q} \right| \ \text{ para } \ p,q>N \ \text{ y } \ q = p+1
En otras palabras, si \left|t_{p} - t_{q}\right|< \varepsilon, entonces es convergente. Si resulta que \left|t_{p} - t_{q}\right|> \varepsilon, entonces la sucesión no es convergente.
Veamos unos ejemplos cuando una sucesión es convergente y cuando no es convergente y tomaremos una \varepsilon que sea menor de 0\text{.}003.
Ejemplo de sucesión convergente
Tenemos la sucesión: t_{k} = \cfrac{n-1}{n}. Elaboraremos la siguiente tabla:
\begin{array}{c c c}
k & t_{k} & \left|t_{p}-t_{q}\right|\\
1 & 0 &\\
2 & 0\text{.}1250 & 0\text{.}1250 \\
3 & 0\text{.}1667 & 0\text{.}0416 \\
4 & 0\text{.}1875 & 0\text{.}2083 \\
5 & 0\text{.}2000 & 0\text{.}0125 \\
6 & 0\text{.}2083 & 0\text{.}0083 \\
7 & 0\text{.}2142 & 0\text{.}0059 \\
8 & 0\text{.}2187 & 0\text{.}0044 \\
9 & 0\text{.}2222 & 0\text{.}3400 \\
10 & 0\text{.}2250 & 0\text{.}0027
\end{array}Como se puede observar, cuando t\to \infty, entonces \left|t_{p} - t_{q}\right| \to 0, por lo tanto, como se cumple que la diferencia del valor absoluto de t_{p} y t_{q} es menor que \varepsilon, entonces la sucesión sí converge.
Ejemplo de sucesión no convergente
Tenemos la sucesión t_{k} = t_{k-1} + 2 con t_{1}=1. Elaboraremos la siguiente tabla:
\begin{array}{c c c}
k & t_{k} & \left|t_{p}-t_{q}\right|\\
1 & 1 & \\
2 & 3 & 2 \\
3 & 5 & 2 \\
4 & 7 & 2 \\
5 & 9 & 2
\end{array}Cuando k\to \infty, entonces \left | t_{p} - t_{q} \right|> \varepsilon; por lo tanto jamás llegará el momento en que se cumpla que \left| t_{p} - t_{q} \right| < \varepsilon, así que la sucesión no es convergente.
¡Ya sabemos cuándo una sucesión es convergente y no convergente, salgamos al mundo a por esas sucesiones!
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