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Progressões

As progressões que veremos a seguir são sequências de números de um conjunto ordenado de números formado de acordo com uma dada lei.

O único requisito para que um conjunto de números seja uma seqüência é que haja uma fórmula ou lei com a qual seja possível obter qualquer número dessa seqüência.

Vejamos rapidamente um exemplo. Se temos que u_{n} representa o enésimo termo de uma sequência, então deve haver uma expressão para u_{n} em termos de n, isso significa que o referido enésimo termo deve ser uma função de n. Tomando o seguinte como uma sucessão:

3, \ 5, \ 7, \ \dots \ , 2n +1

u_{n} é uma fórmula que nos permite obter qualquer termo da sequência.

u_{n}= 2n+1

Progressões aritméticas

Uma progressão aritmética é uma sequência de números tal que cada um dos termos que seguem o primeiro são obtidos adicionando ao número anterior um número fixo que é chamado a diferença de progressão.

O exemplo onde nosso primeiro termo é a_{1}, nosso segundo termo é a_{1} + d, o terceiro termo é a_{1} + 2d, etc … que pode ser representado como o enésimo termo é:

a_{n} = a_{1} +(n-1)d

Graças ao álgebra e a todos os estudos que existem de progressões aritméticas, temos o seguinte teorema que diz:

Teorema da progressão aritmética

Se em uma seqüência aritmética a_{1} é o primeiro termo, a_{n} é o enésimo termo, d é a diferença e s_{n} é a soma dos primeiros n termos , então temos os seguintes dois relacionamentos independentes:

a_{n} = a_{1} + \left(n - 1 \right)d

s_{n} = \cfrac{n}{2} \left(a_{1} + a_{n} \right)

Em termos mais simples, a expressão a_{n} nos ajudará a calcular o valor em uma posição e a expressão s_{n} nos ajudará a calcular a soma dos números consecutivos do primeiro valor ao enésimo termo que queríamos calcular.

Agora, com essas duas relações, podemos obter outra fórmula de que tudo o que ela faz é substituir a fórmula a_{n} da fórmula s_{n} por toda a igualdade da primeira relação:

s_{n} = \cfrac{n}{2} \left( a_{1} + \left[ a_{1} + \left(n - 1 \right)d \right]\right)

Simplificamos para obter nossa segunda fórmula para s_{n}:

s_{n} = \cfrac{n}{2} \left[2a_{1} + \left(n - 1 \right)d \right]

Exemplo 1 de progressão aritmética

Na sequência aritmética 4, 6, 8, 10, 12, \dots, calcule o termo no lugar 14 e calcule a soma dos primeiros 14 termos.

Usando as duas relações que temos do teorema da progressão aritmética, temos que a_{1} = 4, os saltos em que cresce são dois por dois (d = 2) e queremos o lugar 14 (n = 14):

a_{14} = a_{1} + (n-1)d = 4 + \left(14-1\right)\cdot 2 = 4 + 13\cdot 2 = 30

s_{14}=\cfrac{n}{2}\left(a_{1} + a_{n}\right) = \cfrac{14}{2} \left(4 + 30 \right) = 238

Portanto, nosso termo 14 é a_{14} = 30 e a soma dos primeiros 14 termos é s_{14}=238.

Exemplo 2 de progressão aritmética

Em uma seqüência aritmética onde a_{1}=2 e d=4, quantos termos devem ser considerados para que a soma seja 512?

Como sabemos que a soma dos termos deve dar 512, tomaremos a fórmula obtida da união das duas primeiras fórmulas de nosso teorema de progressão aritmética.

s_{n} = \cfrac{n}{2} \left[2a_{1} + \left(n - 1 \right)d \right]

Temos que a_{1}=2, d=4 e s_{n}=512:

512 = \cfrac{n}{2}\left[ 2\cdot 2 + \left( n - 1 \right) 4 \right]

512 = \cfrac{n}{2} \left[4 + 4n - 4\right]

512 = \cfrac{4n}{2} + \frac{4n^{2}}{2} - \cfrac{4n}{2} = 2n + 2n^{2} - 2n

512 = 2n^{2}

Neste exemplo, foi fácil para nós encontrar o resultado, já que nada mais é passar dividindo o 2 e depois aplicar a raiz quadrada:

\cfrac{512}{2} = n^{2}

256 = n^{2}

E então temos os dois resultados

16, \quad -16

E como n deve ser um número inteiro positivo, nosso termo pesquisado é 16.

Exemplo de progressão aritmética 3

Interpolar sete números aritméticos entre 10 e -14.

Uma vez que temos que encontrar sete números aritméticos, isso significa que nossa progressão será de 9 termos, porque são as sete médias aritméticas e nossos extremos são 10 e -14. Portanto, temos a_{1}=10 e a_{9}=-14. Como temos nossa primeira relação do teorema da progressão aritmética:

a_{n} = a_{1} + \left(n-1\right)d

Substituímos a_{1} e a_{n} como nosso último termo a_{9}=-14:

-14 = 10 + \left(9 - 1 \right)d \quad \rightarrow \quad -24 = 8d

Passamos dividindo os 8 para que tenhamos nossa diferença:

d = -3

E como já temos a diferença, simplesmente pegamos nosso primeiro termo e vamos restando para obter nossas sete números aritméticos, que são as seguintes:

10, \ 7, \ 4, \ 1, \ -2, \ -5, \ -8, \ -11, \ -14

Progressões geométricas

Uma progressão geométrica é uma sequência de números tal que qualquer termo próximo ao primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por um termo diferente de zero que chamaremos razão da progressão.

Um exemplo seria o seguinte:

1, \ 2, \ 4, \ 8, \ \dots

Onde a_{1} é o primeiro termo e r é a razão. Portanto, temos que a_{n} representa o enésimo termo, que teremos nossa seguinte fórmula:

a_{n} = a_{1}r^{n-1}

Como temos a expressão para encontrar o termo em uma determinada posição, vou escrever a fórmula para a soma dos termos:

s_{n} = \cfrac{a_{1}\left(1 - r^{n} \right)}{1-r}, \qquad r \ne 1

Teorema da progressão geométrica

Se em uma progressão geométrica a_{1} é o primeiro termo, a_{n} é o enésimo termo, r é a razão e s_{n} é a soma dos primeiros n termos , então temos os dois relacionamentos independentes mencionados acima:

a_{n} = a_{1}r^{n-1}

s_{n} = \cfrac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}, \qquad r=\ne 1

A primeira igualdade que faremos é multiplicar por r para obter o seguinte:

ra_{n} = a_{1}r^{n-1}r = a_{1}r^{n-1+1} = a_{1}r^{n}

ra_{n} = a_{1}r^{n}

Portanto, tudo o que fazemos é substituir a_{1}r^{n} de nossa segunda igualdade de nosso teorema:

s_{n} = \cfrac{a_{1} - a_{1}r^{n}}{1-r} = \cfrac{a_{1} - ra_{n}}{1-r}, \qquad r\ne 1

Exemplo 1 de progressão geométrica

Em nosso primeiro exemplo, vamos simplesmente substituir nas fórmulas. Temos nossa progressão geométrica 1, \ 2, \ 4, \ 8, \ \dots, na qual queremos encontrar o nono termo e a soma dos primeiros nove termos:

Temos que a_{1}=1, r=2, n=9, portanto, aplicaremos diretamente as fórmulas:

a_{n} = a_{1}r^{n-1}

a_{9} = 1\dot 2^{8} = 256

a_{9} = 256

E agora vamos calcular a soma dos primeiros nove termos:

s_{n} = \cfrac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}

s_{9} = \cfrac{1\left(1-2^{9}\right)}{1-2} = \cfrac{1\left(1-512\right)}{-1}=\cfrac{1\left(-511\right)}{-1} = \cfrac{-511}{-1}

s_{9} = 511

Exemplo de progressão geométrica 2

Nosso primeiro termo é 4, o último termo é \frac{15625}{16} e a soma dos termos é \frac{25999}{16}. Encontre a proporção e o número de termos.

Temos a_{1}=4, a_{n}=\frac{15625}{16} e s_{n}=\frac{25999}{16}, então o que queremos calcular é r e n. Para este exercício de progressão, usaremos uma de nossas fórmulas que são mencionadas no teorema:

s_{n} = \cfrac{a_{1} - ra_{n}}{1-r}

Substituímos todos os dados que temos para encontrar r:

\cfrac{25999}{16} = \cfrac{4 - \left( \frac{15625}{16}\right)r}{1 - r}

E agora que temos nossa expressão, tudo o que temos que fazer é resolver para obter o resultado de r:

\cfrac{25999}{16} - \cfrac{25999}{16}r=4 - \cfrac{15625}{16}r

\cfrac{25999}{16} - 4 = \cfrac{25999}{16}r - \cfrac{15625}{16}r

\cfrac{25935}{16} = \cfrac{5187}{8}r

\cfrac{8}{5187}\cdot \cfrac{25935}{16} = r

r = \cfrac{5}{2}

E agora para encontrar o valor de n, usaremos a fórmula a_{n}=a_{1}r^{n-1}, uma vez que já temos r, só precisaremos resolver o equação para encontrar n:

\cfrac{15625}{16} = 4\left(\cfrac{5}{2}\right)^{n-1}

\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{15625}{16} = \left(\cfrac{5}{2}\right)^{n-1}

\cfrac{15625}{64} = \left(\cfrac{5}{2}\right)^{n-1}

Nesta parte vem um truque algébrico, o que vamos fazer é procurar um número que elevado à potência nos deixa a parte esquerda da equação com a mesma base da parte direita da equação, o que quero dizer é que vamos procurar um número (se não é complicado), que elevando \frac{5}{2} à potência x, pode nos dar \frac{15625}{64}. Já nos damos ao trabalho de procurar esse número e é 6:

\left(\cfrac{5}{2}\right)^{6} = \left(\cfrac{5}{2} \right)^{n-1}

E já que temos que em nossa igualdade temos \frac{5}{2} de ambos os lados, agora podemos igualar nossos expoentes:

6 = n-1

n=7

Dando como resultado que r=\cfrac{5}{2} e n=7.

Exemplo de progressão geométrica 3

Interpolar sete números geométricos entre \frac{1}{18} e \frac{6561}{18}.

O que temos que fazer é encontrar sete números que compõem uma progressão geométrica, esses números começam com o primeiro número \frac{1}{18} e terminam com o número \frac{6561}{18}. O que significa que nossa progressão geométrica é de nove termos.

Portanto, temos a_{1}=\frac{1}{18} e a_{n}=a_{9}=\frac{6561}{18}. Usaremos a seguinte equação e encontraremos o valor da razão:

a_{n} = a_{1}r^{n-1}

Substituímos valores e resolvemos:

\cfrac{6561}{18} = \cfrac{1}{18}r^{9-1}

\cfrac{6561}{\cancel{18}} \cdot \cfrac{\cancel{18}}{1} = r^{8}

6561= r^{8}

r = 3

E agora que temos r, simplesmente aplicamos a fórmula para determinar cada um dos valores:

nEquação
na_{n}=a_{1}r^{n-1}
1a_{1} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{0} = \frac{1}{18}
2a_{2} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{1} = \frac{3}{18}
3a_{3} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{2} = \frac{9}{18}
4a_{4} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{3} = \frac{27}{18}
5a_{5} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{4} = \frac{81}{18}
6a_{6} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{5} = \frac{243}{18}
7a_{7} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{6} = \frac{729}{18}
8a_{8} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{7} = \frac{2187}{18}
9a_{9} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{8} = \frac{6561}{18}

Portanto, temos como resposta que a razão é r=3 e nossos sete valores são: \frac{3}{18}, \frac{9}{18}, \frac{27}{18}, \frac{81}{18}, \frac{243}{18}, \frac{729}{18} e \frac{2187}{18}.

Progressões harmônicas

A progressão harmônica é uma sucessão de números cujos recíprocos formam uma progressão aritmética.

Um exemplo simples seria: \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \dots, \frac{1}{n}, \dots desde 2, 4, 6, 8, \dots, 2n, \dots é uma progressão aritmética. Lembre-se de que eles são apenas recíprocos, então o numerador deve ser sempre o mesmo.

Não veremos exemplos de progressão harmônica, pois eles são resolvidos da mesma forma que as progressões aritméticas. O que veremos são várias fórmulas que serão usadas para todas as progressões.

Se interpolarmos uma única média harmônica entre dois números, obteremos a média harmônica. O que queremos dizer é que a e b são números, então H é nossa média harmônica:

\cfrac{1}{a}, \quad \cfrac{1}{H}, \quad \cfrac{1}{b}

Com isso podemos obter outro teorema que será muito útil para nós

Teorema

Se A, G e H são a média aritmética, a média geométrica e a média harmônica, respectivamente, de dois números positivos diferentes a e b, as seguintes fórmulas são válidas:

A = \cfrac{a + b}{2}, \qquad G=\sqrt{ab}, \qquad H = \cfrac{2ab}{a+b}

Sendo então relacionado da seguinte maneira:

G^{2} = AH \qquad A > G > H

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